Equazioni irrazionali

Come si risolve un’equazione irrazionale? Un’equazione si definisce irrazionale quando l’incognita compare sotto radice.

Nel caso di una sola radice, per la risoluzione si è portati intuitivamente ad isolare la radice da una delle due parti del segno di uguaglianza e poi ad elevare tutti e due i membri all’indice della radice, in maniera tale da far scomparire la radice.

Diciamo subito che questo procedimento è solo parzialmente corretto. Per le radici di indice dispari non vi è alcun problema: una radice di indice dispari infatti può dare come risultato sia un numero positivo che negativo e così anche l’argomento può essere positivo o negativo; per quanto riguarda invece le radici di indice pari va detto che l’argomento della radice (o radicando) DEVE ESSERE POSITIVO O AL PIÙ NULLO; inoltre, cosa altrettanto importante ma troppo spesso tralasciata o dimenticata, il RISULTATO di una RADICE di INDICE PARI è UN NUMERO POSITIVO O AL PIÙ NULLO! Per fare un esempio, la radice quadrata di 4 è 2, NON più o meno 2!!!

Torniamo ora al problema iniziale: come si risolve un’equazione irrazionale? Nelle equazioni irrazionali, al contrario di quanto si possa pensare, il problema di esistenza va affrontato soltanto per la parte che non è sotto radice, in quanto lo studio del problema di esistenza della radice viene risolto nel primo. Vediamo perché.

Nel sistema è scritto che, affinché ci siano soluzioni, deve succedere contemporaneamente che la funzione g(x) deve essere positiva o al più nulla e che la funzione sotto radice deve essere uguale al quadrato della g(x). È dunque chiaro che, se si trovano soluzioni nell’equazione compatibili con la condizione imposta alla funzione g(x), non c’è bisogno di imporre alcuna condizione sulla funzione f(x) in quanto, essendo uguagliata ad un quadrato, non potrà in alcun modo essere negativa, senza violare così l’insieme di esistenza della radice.

Quanto appena visto comprende anche il caso in cui al posto della funzione g(x) ci sia una costante. È chiaro che in quel caso non c’è bisogno di fare alcun sistema in quanto è immediato vedere se la costante è positiva o nulla (nel qual caso si eleva tutto al quadrato) o negativa, nel qual caso l’equazione è immediatamente impossibile.