Equazioni irrazionali – appendice

Come si risolve un’equazione irrazionale nel caso siano presenti più radici? Spieghiamo in breve il caso in cui l’incognita x è presente sotto radici differenti unite da un segno di somma o differenza. È chiaro che non è possibile sommare o sottrarre le quantità presenti sotto radici differenti, per cui non è possibile ricondurre il problema al caso in cui è presente una radice sola mediante somme o differenze. Quello che si fa, ma con attenzione, nel caso in cui sono presenti soltanto due radici, è isolarle alle due parti del segno di uguale e quindi elevare al quadrato. Ma, per l’appunto, ATTENZIONE! Innanzitutto, nessuna delle due radici deve presentare il segno meno davanti (una quantità positiva non può essere uguale ad una negativa). Secondo, ma non in ordine d’importanza, bisogna imporre che entrambi i radicandi siano positivi o nulli, in quanto in questo caso l’elevazione al quadrato non assicura la positività di nessuno dei due! Riassumendo:

Il caso in cui una delle due radici presenta un segno meno davanti (stando dalle parti opposte dell’uguale) non è impossibile a prescindere! Infatti, se i polinomi si annullano per lo stesso valore dell’incognita la relazione 0 = 0 è vera, ed inoltre è possibile estrarre la radice quadrata di zero che è zero! Quindi, per risolvere questo caso basta imporre (in sistema) che entrambi i polinomi siano uguali a zero. Dunque…

Nel caso in cui, oltre ad una seconda radice, è presente un altro polinomio sommato ad una delle due radici, si procede per quadrati successivi isolando dapprima le due radici e poi isolando quella che viene fuori dal doppio prodotto di uno dei due quadrati, senza dimenticare le varie condizioni di esistenza!