Equazioni differenziali del prim'ordine

In analisi, un’equazione differenziale ordinaria è una relazione che lega una funzione u(x) (dipendente da una sola variabile) alle sue derivate, cioè una relazione del tipo:
\begin{equation}
f(x,u(x),u'(x),…,u^{(n)}(x))=0
\end{equation}

Semplici equazioni differenziali sono studiate anche in alcuni indirizzi delle scuole superiori, e possono quindi essere oggetto di domande all’esame di maturità.

Non sempre è possibile trovare la funzione u(x) che risolve tale problema. Vi sono comunque alcuni casi in cui la risoluzione è piuttosto semplice. Vediamo il caso più semplice di alcune equazioni differenziali del primo ordine. Ricordiamo prima di procedere che l’ordine di una equazione differenziale è il grado della più alta derivata presente (tuttavia in questo caso si preferisce parlare di ordine e non di grado). Studiamo dunque equazioni del seguente tipo:
\begin{array}{c}
y’=a(x)y + f(x) \\
y(x)=e^{A_{0}(x)} [\int e^{-A_{0}(x)}f(x)dx +c]
\end{array}

La formula sopra comprende anche il caso in cui l’equazione è omogenea, cioè senza termine noto… ovvero del tipo y’ = a(x)y. In questo caso l’equazione può essere risolta anche operando quella che viene definita come separazione delle variabili, considerando cioè:
\begin{array}{c}
y’ = a(x)y \Longrightarrow \frac{dy}{dx} = a(x)y \Longrightarrow \frac{dy}{y} = a(x)dx \\
\int \frac{dy}{y} = \int a(x)dx \Longrightarrow \log |y| = A(x)+c \\
y= ce^{A(x)}
\end{array}

…che (ovviamente!) è la stessa soluzione che si trova applicando la prima formula.
Ricordiamo infine che la formula vale anche nel caso in cui la funzione a(x) è costante.

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