Equazioni di secondo grado – il delta o determinante.

radicedelta

Cosa cambia tra determinante positivo e negativo?

Abbiamo già visto in altra sede cos’è il delta (o determinante) di una equazione di secondo grado. Essendo un numero reale esso può essere, pertanto, maggiore, minore o uguale a zero. Cosa cambia? Vediamolo nello specifico.

Caso uno: delta maggiore di zero.

Nella formula risolutiva la radice del delta (anch’essa un numero reale positivo) è presente dopo il simbolo di più o meno; pertanto le soluzioni saranno due, reali e distinte (a prescindere dal valore di b, aggiungere e sottrarre una quantità positiva ad un’altra – nel nostro caso, b – porta inevitabilmente a risultati distinti).

deltamagg

Caso due: delta uguale a zero.

In questo caso troviamo un unico valore numerico come soluzione, ma in effetti le soluzioni sono due, reali e coincidenti.

deltauguale

Osserviamo che in questo caso il polinomio in questione è un quadrato perfetto. Il polinomio di cui sopra infatti si può scrivere come quadrato e questo vale ogni qual volta il delta è uguale a zero.

Caso tre: delta minore di zero.

In questo caso non esistono soluzioni reali, ma soltanto soluzioni complesse (e coniugate). Infatti, avendo delta negativo, non è possibile estrarne la radice nel campo dei numeri reali, cosa invece fattibile nel campo complesso. Pertanto, dal punto di vista dei numeri reali una simile equazione NON HA SOLUZIONI, dal punto di vista complesso, come già detto in altra sede, ne ha due.

Esempio:

deltaminore

Come si può vedere, in questo caso le soluzioni sono dei numeri complessi in quanto compare, nei valori dell’incognita, l’unità immaginaria i. Parleremo poi in altra sede ed in maniera più dettagliata dei numeri complessi.

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