Equazioni di primo grado

Cos’è e come si risolve un’equazione di primo grado?
Un’equazione è una uguaglianza tra due espressioni contenenti una o più incognite. Un’equazione di primo grado è dunque un’uguaglianza in cui l’incognita (solitamente la x) si presenta (all’ultimo passaggio!) con esponente UNO ed inoltre non è MAI presente al denominatore, sotto radice o all’interno di qualche altra funzione (logaritmo, seno, coseno, etc). Pertanto l’ultimo passaggio sarà del tipo ax=b. È possibile pertanto trovare in qualche traccia la x con esponenti maggiori di uno: se l’equazione è di primo grado essi scompariranno nel corso dei calcoli prima dell’ultimo passaggio. Come si risolve ax=b? Abbiamo già visto in altra sede cosa significa spostare un termine da una parte dell’uguale, ma, spiacente deludere, non è questo il caso. Giunti a questo punto bisogna fare in modo che il coefficiente della x diventi UNO, in quanto scopo dell’equazione è trovare il valore di x che rende vera l’uguaglianza, non il valore di 2x, -5x o √2x! Come si fa?

Caso 1. a è diverso da zero. Per ottenere il risultato si moltiplicano entrambi i membri per 1/a, per cui si ottiene ax/a=b/a, da cui x=b/a.

Caso 2. a=0.

Se anche b è uguale a zero l’equazione si dice indeterminata, in quanto ogni valore reale di x verifica l’uguaglianza richiesta (insomma, 0⋅x=0 ∀x∈ℝ); se invece b≠0 l’equazione è impossibile, in quanto nessun numero reale verifica l’uguaglianza, ossia nessun numero reale moltiplicato a zero darà come risultato un valore non nullo (una moltiplicazione per zero dà sempre come risultato zero).

Da notare che su a e b non è stata fatta alcuna restrizione, essi sono numeri REALI! Pertanto a può essere un numero intero (3 ad esempio), relativo (-6), razionale (5/6), reale (√2, 1+√3, 1-π)… il metodo di risoluzione è SEMPRE LO STESSO!

IMPORTANTE: può accadere di trovarsi di fronte a qualcosa tipo;

\begin{equation}
x- x \sqrt{2} + \pi x = 2
\end{equation}
Si mette la x in evidenza e si trova

(1-√2+π)x=2 e in questo caso la nostra a sarà TUTTO il coefficiente di x, ovvero (1-√2+π) (che è un numero reale, NON una somma di numeri!). Pertanto il metodo di risoluzione non cambia, x=b/a ossia
\begin{equation}
x=\frac{2}{1- \sqrt{2} + \pi}
\end{equation}
…e lo stesso discorso vale anche per b.