Ellisse – formule

ellisse2

Si definisce ellisse il luogo geometrico dei punti del piano per i quali è costante la somma delle distanze da due punti fissi detti fuochi.

Solitamente si fa riferimento ad ellissi i cui fuochi sono situati su uno dei due assi cartesiani (basta ricordare che, in caso contrario, è sempre possibile operare una rototraslazione per ricondursi al caso di cui sopra). Supponiamo dunque di avere i due fuochi situati sull’asse x con coordinate F’ (-c,0) e F (c,0), con c > 0. Sia inoltre 2a la distanza fissata, con a > 0, e P(x,y) un punto qualsiasi. Allora…
\begin{array}{c}
\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}+\sqrt{(x+c)^{2} + y^{2}} = 2a \\
\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}= 2a – \sqrt{(x+c)^{2} + y^{2}} \\
(x-c)^{2}+y^{2} = 4a^{2} -4a\sqrt{(x+c)^{2} + y^{2}} + (x+c)^{2} + y^{2} \\
a\sqrt{x^{2}+c^{2} + 2cx + y^{2}} = a^{2} +cx \\
a^{2}(x^{2}+c^{2} + 2cx + y^{2}) = a^{4} + 2a^{2}cx + c^{2}x^{2} \\
(a^{2} – c^{2})x^{2} + a^{2}y^{2} = a^{2}(a^{2} – c^{2}) \\
\end{array}

ellisse1Siccome, per posizione, 2a > 2c (altrimenti non sarebbe possibile costruire l’ellisse per come la conosciamo) si ha che a > c, per cui è possibile porre:
\begin{array}{c}
(1) \space a^{2} – c^{2} = b^{2} \Longrightarrow \\
b^{2}x^{2} + a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2} \Longrightarrow \\
(2)\space \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1
\end{array}
L’equazione (2) prende il nome di equazione canonica o equazione normale dell’ellisse. Dalla posizione (1) e dall’equazione canonica si possono ricavare facilmente tutti i dati di un’ellisse. Infatti:
\begin{array}{c}
c = \sqrt{a^{2} – b^{2}} \Longrightarrow F(c,0); \space F'(-c,0) (coordinate \space dei \space fuochi) \\
A(a,0),\space A'(-a,0) \space B(0,b) \space B'(0,-b) \space (vertici \space dell’ellisse) \\
\overline{AA’} = 2a = asse\space maggiore;\\
\overline{BB’} = 2b = asse\space minore;\\
e=\frac{c}{a} \space (eccentricita’)
\end{array}

Diciamo infine che nel caso in cui a^2 l’ellisse presenta i fuochi sull’asse y.
Nell’immagine iniziale è rappresentata la seguente ellisse:
\begin{equation}
\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1
\end{equation}
con evidenziati i fuochi ed i semiassi.

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