Distanze e metrica

Nella pratica quotidiana si tende a pensare che la distanza più breve tra due punti sia la retta che li congiunge; tuttavia questa distanza non è quasi mai percorribile! Perché? Facciamo alcuni esempi.

Esempi ed esercizi distanze e metrica

Supponiamo di dover andare da Napoli a Milano. Escludendo le strade per arrivare al casello della A1 (e per uscirne una volta arrivati a Milano) notiamo subito che l’autostrada in questione non è affatto una retta!

Vediamo un altro caso: il quartiere newyorkese di Manhattan è un esempio “vivente” di città euclidea, con le strade (Street e Avenue) che si incrociano tutte a perpendicolo. Dunque, per raggiungere un punto di un isolato situato su un altro lato dello stesso bisogna per forza assecondarne i lati, cioè percorrere una street ed una Avenue, non si può andare direttamente verso il punto stesso.

Dunque, per quanto riguarda il mondo reale, quella che viene comunemente chiamata metrica euclidea non funziona tanto bene!

Cos’è una metrica?

Una metrica è una funzione definita in uno spazio di punti a valori nel sottoinsieme positivo (zero compreso) dei numeri reali (non esistono distanze negative!), che gode di tre proprietà che qui riassumiamo.
\begin{equation}
d:S\times S \rightarrow \mathbb{R}_{0}^{+} \space e’\space una\space metrica
\end{equation}
\begin{equation}
\overset{def}{\Longleftrightarrow}
\end{equation}
\begin{equation}
1.\space d(x,y)=0\Longleftrightarrow x=y;
\end{equation}
\begin{equation}
2.\space d(x,y)=d(y,x),\space \forall x,y \in S;
\end{equation}
\begin{equation}
3.\space d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y),\space \forall x,y,z \in S
\end{equation}

Conclusioni sulle distanze e la metrica

Qual è il significato di queste tre proprietà? Vediamo.

1. La prima proprietà dice che due punti sono a distanza nulla soltanto se coincidono!
2. La seconda proprietà dice che la distanza è simmetrica, cioè che la distanza tra A e B è la stessa che tra B ed A.
3. La terza proprietà va sotto il nome di disuguaglianza triangolare: insomma, dice che se vogliamo andare da A a B passando per un terzo punto C è molto probabile che percorreremo più strada!
4. Il fatto che la funzione d sia a valori positivi sottintende che la distanza non può essere negativa; differentemente, si può dire che la funzione è definita in tutto l’insieme dei numeri reali ma che la distanza tra due punti è sempre positiva o al più nulla se e solo se i due punti coincidono.