Disposizioni semplici


dadi

Cosa sono le disposizioni semplici?
Dati n elementi distinti, si definisce disposizione semplice degli n elementi, presi a k a k, un gruppo ordinato di k degli n elementi.
Due disposizioni semplici sono differenti se differiscono per almeno uno degli elementi; ricordiamo che, dovendo tener conto anche dell’ordine in cui sono presi i k degli n elementi, anche un ordinamento differente dei k elementi dà luogo a differenti disposizioni (o combinazioni).

Ora, assegnato un numero qualsiasi n (naturale), ed un qualsiasi k minore o uguale ad n, si ha il seguente teorema:

Il numero di disposizioni semplici di n elementi distinti a k a k è uguale al prodotto di k numeri interi consecutivi e decrescenti di cui il primo è n

Detto in altri termini:
\begin{array}{c}
Siano \space n,k \in \mathbb{N}, \space k \leq n \\
D_{n,k} = n(n-1)(n-2)…(n-k+1)
\end{array}
laddove D_{n,k} è il simbolo che indica il numero delle disposizioni semplici di n elementi presi a k a k.
Il teorema sopra enunciato si dimostra in maniera molto semplice. Supponiamo di avere n elementi (oggetti, ad esempio) e k posti in cui riporli, con k al più uguale ad n. Nel primo dei k posti è collocabile uno qualsiasi degli n elementi, sicché si hanno n possibilità di scelta; nel secondo dei k posti la scelta è tra gli n-1 elementi rimanenti (ricordiamo che gli elementi non possono essere ripetuti). Pertanto, si può già evincere che i primi due posti possono essere riempiti in n(n-1) modi differenti. Ragionando alla stessa maniera è facile evincere che i primi 3 posti possono essere riempiti in n(n-1)(n-2) modi distinti e così via; al k-esimo posto si avrà dunque possibilità di scegliere tra gli n-k+1 elementi rimasti, sicché, in totale, per riempire tutti i k posti disponibili si hanno esattamente n(n-1)(n-2)…(n-k+1) possibilità differenti.

Immagine via wikipedia.org

Continua: Disposizioni con ripetizione





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