Disposizioni con ripetizione


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Cosa sono le disposizioni con ripetizione?
Dati n elementi distinti, si definisce disposizione con ripetizione degli n elementi a k a k (dove k è un numero naturale minore o uguale ad n) un gruppo ordinato formato da k degli n elementi di partenza in cui ogni elemento può figurare fino a k volte.

A differenza delle disposizioni semplici, nelle disposizioni con ripetizione un elemento può essere ripetuto; invece, in maniera simile alle disposizioni semplici, l’ordine è fondamentale nella distinzione delle disposizioni, per cui due disposizioni sono distinte se presentano almeno due elementi differenti che occupano la medesima posizione. Ad esempio, le disposizioni AAB e ABA sono differenti, sebbene formate dalle stesse lettere (due A ed una B), in quanto le lettere (che sono in questo caso gli elementi delle disposizioni) occupano posti diversi.

È facile verificare la veridicità del seguente teorema:

il numero delle disposizioni con ripetizione di n elementi distinti presi a k a k (ossia di classe k) è dato dalla potenza di base n ed esponente k. In simboli:
\begin{equation}
D_{n,k}^{r} = n^{k}
\end{equation}
Infatti, differentemente dal caso delle disposizioni semplici senza ripetizione, per ognuno dei k posti la scelta può cadere su ognuno degli n elementi, per cui, dovendo scegliere k volte, si ha il risultato sopra enunciato.

Immagine via wikipedia.org

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