Disequazioni irrazionali

Come si risolve una disequazione irrazionale? Al pari delle equazioni irrazionali, una disequazione si definisce irrazionale quando l’incognita compare sotto il segno di radice. Anche in questo caso, come le equazioni, la parte principale è recitata dalla funzione che non è sotto radice. Va detto poi che le disequazioni vanno risolte in maniera differente a seconda che il segno sia maggiore (o uguale) o minore (o uguale).

Cominciamo dal primo caso. La parte più difficile sembrerebbe quella di ricordare a memoria i sistemi da scrivere; in effetti non c’è alcun bisogno di imparare a memoria: basta, come al solito, un pizzico di ragionamento e un po’ d’esercizio. Dunque…

Vediamo di analizzare nel dettagli quanto scritto. Perché bisogna pensare alla funzione g(x) e non a quella sotto radice?

1. Il primo sistema dice che se la funzione g(x) è minore di zero, la disequazione (quella principale) è verificata a patto che la funzione f(x) sia maggiore o uguale a zero: in questo caso, infatti, la radice esisterebbe ed essendo positiva per definizione (al più nulla) sarebbe di certo maggiore di un numero negativo quale g(x);
2. il secondo sistema invece dice che se la funzione g(x) è positiva (o nulla), affinché ci siano soluzioni deve accadere che la funzione f(x) sia maggiore (o maggiore o uguale, a seconda del segno della disequazione principale) del quadrato della funzione g(x); non serve dunque calcolare la condizione di esistenza sulla f(x) in quanto è posta maggiore di un numero positivo e quindi di zero.

Come risultato, infine, va considerata l’unione dei risultati dei due sistemi.

Vediamo il caso con il segno di .

Traduciamo quanto scritto. In questo caso non basta che la funzione g(x) sia maggiore o uguale a zero, bisogna imporre anche che la funzione f(x) lo sia! Questo perché nell’ultima disequazione, essendoci il segno di minore (o minore o uguale), nulla assicura che la funzione f(x) sia positiva. È chiaro che non va affatto studiato il caso in cui g(x) , in quanto la radice, essendo un numero positivo, non potrebbe mai essere minore di un numero negativo.

Diciamo infine che, se al posto della funzione g(x) vi è una costante il discorso è esattamente uguale, tranne per il fatto che i sistemi di cui sopra sono evitabili in quanto il valore di una costante è noto e quindi non va discusso in un sistema. Dunque, nel caso di segno > va risolto uno soltanto dei due sistemi (l’altro è automaticamente impossibile); nel caso di segno , se la costante è positiva va imposto che la funzione f(x) sia positiva, altrimenti la disequazione è impossibile! Buoni esercizi!!!