Dipendenza lineare

Cos’è la dipendenza lineare?

La dipendenza lineare è un concetto di algebra vettoriale che esprime la possibilità (o meno) di esprimere un vettore dello spazio come combinazione lineare di altri vettori. Sia dato uno spazio vettoriale V su un campo K. L’insieme…
\begin{array}{c}
\{v_{1},…,v_{n}\} \space e’\space linearmente \space indipendente \\ \overset{def}{\Longleftrightarrow} \\ \overset{n}{\underset{i=1}{\sum}}\alpha_{i}v_{i}=0_{v} \Longrightarrow \alpha_{i}=0,\space \forall i=\{1,…,n\}
\end{array}

Cosa esprime quanto detto? Il sistema di vettori è linearmente indipendente se l’unica combinazione di vettori che dà come risultato il vettore nullo è quella in cui tutti gli scalari sono nulli. Insomma, se è possibile esprimere il vettore nullo anche in maniera differente il sistema è dipendente. L’indipendenza lineare di un sistema di vettori ci assicura inoltre che ogni suo sottoinsieme di vettori è linearmente indipendente e che ogni vettore dell’insieme non dipende linearmente dagli altri, cioè non può essere espresso attraverso una combinazione lineare dei vettori rimanenti.

Esempio:
\begin{array}{c}
\{(1,0),(2,0)\} \in \mathbb{R}^{2} \space e’\space linearmente\space dipendente;\\
\{(1,0),(0,1)\} \in \mathbb{R}^{2} \space e’\space linearmente\space indipendente.
\end{array}