Determinanti – regola di Laplace

Come si calcola il determinante di una matrice quadrata?

Il determinante è un numero associato ad una matrice quadrata. In pratica, ad ogni matrice quadrata n x n con valori in un campo K è associato un valore appartenente al campo stesso K. Per vederla in formule…
\begin{array}{c}
K\space campo,\space A \in M^{n,n}(K) \\
\det : M^{n,n}(K) \longrightarrow K
\end{array}

Come si effettua il calcolo? Nel caso di matrici 2 x 2 il calcolo è immediato, nel caso 3 x 3 vi è la regola di Sarrus. Siccome questa non è estensibile a matrici di ordine superiore c’è bisogno di una ulteriore regola.
Facciamo prima alcune premesse. Data una matrice A, si definisce con A_ij la matrice che si ottiene da A cancellando la riga i-esima e la colonna j-esima. A questo punto, data una matrice A di dimensioni n x n, si definisce il determinante di A sviluppato secondo la riga i il valore:
\begin{array}{c}
A\in M^{n,n}(K) \\
\det A = \sum_{j=1}^{n}a_{ij} \det A_{ij}
\end{array}

Ovviamente, se il calcolo del determinante A_ij non è immediato (vedi sopra) bisogna riapplicare la stessa regola per ogni matrice A_ij. Questo procedimento è detto regola di Laplace, ma, salvo casi fortunati, è piuttosto complicato e laborioso da applicare. Tuttavia esistono metodi molto più rapidi per il calcolo di determinanti di grandi dimensioni. Innanzitutto va detto che i casi fortunati sono quelli in cui nella matrice sono presenti molti zeri; in alternativa, è possibile calcolare il determinante di una matrice di qualsivoglia dimensione riducendola a scalini con il metodo di eliminazione di Gauss e facendo semplicemente il prodotto degli elementi sulla diagonale.

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