Determinanti e regola di Sarrus

Il calcolo di determinanti non è utile soltanto per la risoluzione di sistemi lineari o per verificare la dipendenza lineare di un certo numero di vettori. In questi casi infatti il calcolo potrebbe essere piuttosto lungo se approcciato in maniera diretta e portare quindi a risultati errati. Il calcolo di determinanti è indispensabile, ad esempio, nel calcolo di un prodotto vettoriale tra due vettori, o può essere comunque molto utile nel calcolo dell’area di un triangolo in un piano cartesiani, noti i vertici. In questo caso infatti potrebbe tornare piuttosto faticoso il calcolo delle lunghezze dei lati unito poi alla formula di Erone. Cominciamo da matrici 2 x 2. Data una matrice 2 x 2…
\begin{equation}
A=\begin{array}{cc}
a_{1,1} & a_{1,2} \\
a_{2,1} & a_{2,2} \end{array}
\end{equation}

\begin{equation}
\det A = a_{1,1} \cdot a_{2,2} – a_{1,2} \cdot a_{2,1}
\end{equation}

Per quanto riguarda invece determinanti di matrici 3 x 3 c’è la regola di Sarrus che semplifica di molto il calcolo. Sia…
\begin{equation}
A=\begin{array}{ccc}
a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} \\
a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} \\
a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3}
\end{array}
\end{equation}
La regola di Sarrus consiste nell’aggiungere alla matrice originaria le prime due colonne e procedere con delle semplici moltiplicazioni e somme in diagonale. Spieghiamo bene. La matrice da utilizzare è la seguente:
\begin{equation}
A_{1}=\begin{array}{ccccc}
a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} & a_{1,1} & a_{1,2} \\
a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} & a_{2,1} & a_{2,2} \\
a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} & a_{3,1} & a_{3,2}
\end{array}
\end{equation}
A questo punto, a partire dal primo elemento si svolgono delle moltiplicazioni lungo le diagonali e si sommano gli elementi che ne vengono, dopodiché si svolgono delle altre moltiplicazioni lungo le diagonali opposte e si sottraggono i risultati. In formule…
\begin{array}{c}
\det A = a_{1,1}a_{2,2}a_{3,3} + a_{1,2}a_{2,3}a_{3,1} + a_{1,3}a_{2,1}a_{3,2} + \\- a_{1,2}a_{2,1}a_{3,3} – a_{1,1}a_{2,3}a_{3,2} – a_{1,3}a_{2,2}a_{3,1}
\end{array}
Ovviamente, ai vari segni più e meno vanno moltiplicati i segni uscenti dalle moltiplicazioni dei vari a_(i,j). Come fare a ricordare questa regola? È molto semplice: non serve! Una volta scritta la matrice A1 basta tracciare le diagonali, cominciare da sinistra (verso destra), moltiplicare i termini sulla stessa diagonale e scrivere il risultato, quindi sommare con la moltiplicazione uscente dalla diagonale successiva; quando poi si procede da destra verso sinistra bisogna ricordare che va utilizzato il segno meno. Quindi non serve ricordare tutta la formula! Insomma, molto più difficile a dirsi che a farsi!

Nell’immagine (via texample.net) è rappresentata la regola di Sarrus, utilizzando due righe aggiuntive (sotto la matrice originaria) piuttosto che due colonne alla destra. Il risultato, ovviamente, non cambia. Ricordiamo infine che la regola di Sarrus non vale per matrici di ordine superiore al terzo.