Cos'è una funzione?


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Cos’è una funzione
In matematica le funzioni sono molto importanti, tuttavia a volte si fa un po’ di confusione su cosa sia effettivamente una funzione. Una funzione è un particolare tipo di relazione matematica definita da:

– un insieme detto dominio;
– un insieme detto codominio;
– una legge che associa ad ogni elemento del dominio uno ed un solo elemento del codominio.

Quello che distingue funzioni e relazioni è il fatto che, per una funzione, ad ogni elemento del dominio viene associato uno ed un solo elemento del codominio, mentre in una relazione può accadere anche un’associazione multipla. Scrivendo tutto in formule…

\begin{array}{c}
f:X \rightarrow Y
\end{array}
leggi: f definita in X e a valori in Y
\begin{array}{c}
\space e’\space una\space funzione \\
\overset{def}{\Longleftrightarrow} \\
\forall x \in X\space \exists ! \space y \in Y : y = f(x)
\end{array}

Facciamo alcuni esempi. La relazione che ad ogni città d’Italia associa la regione in cui si trova è una funzione, in quanto ogni elemento ha un’unica immagine poiché ogni città si trova in un’unica regione; viceversa, la relazione che ad ogni regione associa le città che si trovano su di essa non è una funzione poiché ogni regione d’Italia è composta da più di una città, per cui ogni regione avrebbe ben più di una immagine. Facciamo un esempio più matematico:

\begin{equation}
f: \mathbb{Z} \setminus \{0\} \rightarrow \frac{1}{x} \in \mathbb{Q}
\end{equation}

è una funzione, mentre…

\begin{equation}
f: \mathbb{Z} \rightarrow \frac{1}{x} \in \mathbb{Q}
\end{equation}
non è una funzione in quanto l’elemento 0 non è dotato di inverso, per cui non ha immagine.

Finora non abbiamo fatto alcuna considerazione sul codominio… cosa che faremo la prossima volta!

Continua: Funzioni iniettive





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