Coordinate polari sferiche

Cosa sono le coordinate polari sferiche?

Per conoscere la posizione di un punto nello spazio tridimensionale c’è bisogno di tre coordinate che ne individuano, appunto, la posizione senza ambiguità alcuna. Solitamente si usano le coordinate cartesiane, che sono null’altro che un ampliamento di quelle che si usano nel piano con l’aggiunta di un asse ortogonale al piano. Tuttavia, come le coordinate polari usate nel piano cartesiano, anche nel caso tridimensionale è possibile fare uso di diversi tipi di coordinate polari. Vediamo in questa sede le coordinate polari sferiche.
Come nel caso delle coordinate polari nel piano, la coordinata radiale del punto P (contrassegnata dalla lettera greca rho o dalla lettera latina r) indica la distanza del punto in questione dall’origine degli assi (cioè la lunghezza del segmento OP). La seconda coordinata (contrassegnata dalla lettera greca theta) sta ad indicare l’l’angolo formato dalla proiezione del segmento OP sul piano XY con il semiasse positivo delle X, calcolato a partire dall’asse in senso antiorario. La terza coordinata (contrassegnata dalla lettera greca phi) indica in ultimo l’angolo formato dal segmento OP con il semiasse positivo dell’asse Z, calcolato in maniera tale da essere compreso tra zero e 180°.

Ora, passando alle formule, il rapporto tra le coordinate polari e quelle cartesiane è il seguente:

\begin{equation}
\{ \begin{array}{c}
x= \rho \sin \theta \cos \phi \\
y= \rho \sin \theta \sin \phi \\
z= \rho \cos \phi
\end{array}
\end{equation}