Coordinate polari nel piano cartesiano

Per individuare un punto in un piano servono non più né meno di due coordinate, ossia due informazioni che individuano in maniera univoca la sua posizione, e quindi il punto. Solitamente siamo abituati a ragionare in coordinate cartesiane, tuttavia esistono molti casi in cui è più facile ragionare in coordinate polari. Al contrario delle coordinate cartesiane, che esprimono la distanza dai due assi (con segno per individuare il verso), nelle coordinate polari è espresso un solo valore di distanza, data in funzione di un unico punto (il polo) ed il valore di un angolo. In pratica, dato il punto A, le coordinate polari di A esprimono:
– la distanza di A dal polo O, ossia la lunghezza del segmento OA;
– l’angolo formato dal segmento OA con il semiasse positivo delle x, misurato in senso antiorario e compreso tra 0° e 360° (ma espresso in radianti!).

La trasformazione da coordinate polari a coordinate cartesiane è la seguente:
\begin{equation}
\{ \begin{array}{c} x = \rho \cos \theta \\ y=\rho \sin \theta
\end{array}
\end{equation}

Per quanto riguarda la trasformazione inversa si ha:
\begin{equation}
\{ \begin{array}{c} \rho = \sqrt{x^{2}+y^{2}} \\
\theta = 2 \arctan (\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2} + x}}
\end{array}
\end{equation}

In genere l’angolo teta è calcolato in maniera differente:
\begin{equation}
\theta = \{ \begin{array}{c}
\arctan (\frac{y}{x}),\space se \space x>0 \space e \space y \geq 0 \\
\arctan (\frac{y}{x}) + 2\pi,\space se \space x>0 \space e \space y
\arctan (\frac{y}{x}) + \pi,\space se \space x
\frac{\pi}{2} \space se \space x=0 \space e\space y>0 \\
\frac{3}{2} \pi \space se \space x=0 \space e\space y
\end{array}
\end{equation}

…ma ovviamente il risultato è lo stesso. Ricordiamo che, al contrario delle coordinate cartesiane, per le coordinate polari si perde la biunivocità nell’origine delle coordinate, in quanto, con raggio pari a zero, qualsiasi angolo dà come risultato il punto (0,0)