Campo elettrico generato da un anello uniformemente carico

Anello carico

Il calcolo del campo elettrico in un punto dell’asse di un anello uniformemente carico è un compito piuttosto semplice, anche se all’apparenza complicato, dato che, difatti, si tratta di una distribuzione continua di cariche. Come si calcola?
Osserviamo innanzitutto quanto segue: ogni vettore campo elettrico è scomponibile in due componenti, una parallela all’asse dell’anello ed un’altra perpendicolare. Tuttavia ognuna delle componenti di campo perpendicolari viene compensata dalla componente generata dalla carica infinitesima diametralmente opposta, sicché la somma di tutte le componenti perpendicolari è nulla. A conti fatti, dunque, va calcolata soltanto la somma delle componenti parallele all’asse.
Quanto vale dunque la componente parallela? Ponendo a uguale al raggio dell’anello, x uguale alla distanza del punto sull’asse dal centro dell’anello e r la distanza tra un punto qualsiasi dell’anello ed il punto sull’asse, si ha:
\begin{array}{c}
dE_{x}=dE\cos \alpha = (\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{dq}{r^{2}})\frac{x}{r} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{x}{(x^{2}+a^{2})^{\frac{3}{2}}}dq
\end{array}
A questo punto vanno sommati tutti i contributi infinitesimi, per cui:
\begin{equation}
E_{x}=\int_{Q} \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{x}{(x^{2}+a^{2})^{\frac{3}{2}}}dq
\end{equation}
Siccome le componenti in gioco sono tutte costanti si ha molto semplicemente:

\begin{equation}
E_{x}= \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{x}{(x^{2}+a^{2})^{\frac{3}{2}}} \int_{Q} dq = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{x}{(x^{2}+a^{2})^{\frac{3}{2}}} Q
\end{equation}
che rappresenta il valore del campo nel punto in questione (ricordiamoli, a distanza x dal centro dell’anello).

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