Campo elettrico generato da distribuzioni di cariche
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Come si calcola il campo elettrico generato da una distribuzione finita di cariche?
Il campo elettrico presente in un punto è definito a partire dalla forza elettrica. Pertanto, giacché la forza elettrica gode della proprietà additiva, vale lo stesso anche per il campo elettrico. In presenza di più cariche elettriche, dunque, il campo elettrico in un punto è dato molto semplicemente dalla somma (vettoriale!) dei campi elettrici generati da tutte le cariche puntiformi presenti nel punto. Pertanto, date n cariche elettriche puntiformi:
\begin{array}{c}
\overset{\rightarrow}E= \sum_{k=0}^{n} \overset{\rightarrow}E_{n} \\
\overset{\rightarrow}E_{n} = \frac{q_{n}}{4\pi \epsilon_{0}} \frac{\overset{\rightarrow}r_{n}}{|\overset{\rightarrow}r_{n}|^{3}}
\end{array}
Nei casi più semplici tuttavia non si esegue realmente la somma vettoriale ma si calcolano dapprima la direzione ed il verso (come in casi di particolari simmetrie), quindi si fa la somma dei moduli (ovviamente proiettati lungo la direzione trovata). Ad esempio, prese due cariche puntiformi uguali (stessa carica, stesso segno), è facile trovare che nei punti dell’asse del segmento che le lega il campo ha sempre come direzione l’asse stesso, per cui basta proiettare i moduli (usando il seno o il coseno) ed il gioco è fatto.
Come si calcola il campo elettrico generato da una distribuzione continua di cariche?
Nel caso di distribuzione continua di cariche il ragionamento è esattamente lo stesso, ma va sostituita la sommatoria con l’integrale. Difatti:
\begin{equation}
\overset{\rightarrow}E = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \int_{Q} \frac{dq}{r^{3}}\overset{\rightarrow}r = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \int_{Q} \frac{dq}{r^{2}}\hat{r}
\end{equation}
dove Q rappresenta la carica totale che genera il campo.
Molto spesso si utilizza il concetto di densità di carica per il calcolo dell’integrale, ottenendo:
\begin{equation}
\overset{\rightarrow}E = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \int_{V} \frac{\rho dV}{r^{2}}\hat{r}
\end{equation}
dove il calcolo è fatto su tutto il volume che contiene la carica (vale lo stesso discorso anche per cariche lineari o superficiali). Il concetto di densità semplifica di molto il calcolo del campo nel caso di distribuzioni uniformi di carica.
