Campo elettrico di una sfera uniformemente carica

SferaGaussiana

Il calcolo del campo elettrico di una sfera isolante uniformemente carica è un tipico esempio di utilizzo del teorema di Gauss. Usando la legge di Gauss è possibile calcolare facilmente sia il campo all’interno della sfera sia all’esterno.

Quanto vale il campo elettrico all’interno della sfera?

Detto R il raggio della sfera e r la distanza (minore di R) dal centro dove si vuol calcolare il valore del campo elettrico, per il teorema di Gauss si ha:
\begin{array}{c}
\Phi_{E} = \oint \overset{\rightarrow}{E} \cdot d\overset{\rightarrow}{A} = E\oint dA = E (4\pi r^{2}) \overset{LeggeDiGauss}{=} \frac{q_{int}}{\epsilon_{0}}
\end{array}
Osserviamo innanzitutto che, proprio per ragioni di simmetria, il campo elettrico è costante su tutta la superficie gaussiana; non solo, punto per punto è ortogonale ad essa, per cui è possibile trasportare il campo elettrico fuori dal segno d’integrale; osserviamo ancora che a questo punto l’unico problema rimasto è il calcolo della carica contenuta all’interno della superficie gaussiana (ATTENZIONE: un errore frequente è calcolare la carica totale della sfera; va invece calcolata soltanto la carica interna alla superficie gaussiana). Facilmente:
\begin{array}{c}
q_{int} = \int \rho dV = \rho \int dv = \frac{4}{3}\pi r^{3} \rho
\end{array}

 

 
Parentesi:
Nel caso in cui la distribuzione di cariche dipenda dal raggio si ha, nel calcolo della carica interna:

\begin{equation}
q_{int} = \int \rho(r) dV = \int \rho(r) 4\pi r^{2} dr
\end{equation}

laddove
\begin{equation}
4 \pi r^{2} dr
\end{equation}
rappresenta l’elemento di volume dV
Fine parentesi
 

 

A questo punto, tornando alla legge di Gauss, si ha:
\begin{array}{c}
4\pi r^{2} E = \frac{\frac{4}{3}\pi r^{3} \rho}{\epsilon_{0}} \Longrightarrow E = \frac{\frac{4}{3}\pi r^{3}}{4\pi r^{2} \epsilon_{0}} \\
\Longrightarrow E = \frac{\rho}{3\epsilon_{0}} r
\end{array}
(nel caso in cui la carica non sia distribuita uniformemente va sostituita l’espressione che viene fuori dall’integrale nella parentesi sopra esposta)

Ponendoci ora all’esterno della sfera, quello che cambia nel calcolo è che, nel calcolo della carica totale si ha R in luogo di r, mentre r in questo caso rappresenta la distanza del punto in questione dal centro della sfera. Pertanto si ha:
\begin{array}{c}
4\pi r^{2} E = \frac{\frac{4}{3}\pi R^{3} \rho}{\epsilon_{0}} \Longrightarrow E = \frac{Q_{tot}}{4\pi r^{2} \epsilon_{0}} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{Q_{tot}}{r^{2}}
\end{array}

Questo valore del campo elettrico è lo stesso che si otterrebbe se tutta la carica venisse concentrata nel centro della sfera. Si può dedurre quindi che il campo elettrico di una sfera conduttrice carica, all’esterno, è uguale al campo elettrico generato da una carica puntiforme posta nel suo centro ed il cui valore è esattamente uguale a quello della carica di tutta la sfera.

Immagine via wikipedia.org

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