Campo elettrico di un piano uniformemente carico

campo elettrico

Il calcolo del campo elettrico di un piano (infinito) non conduttore ed uniformemente carico ricade tra le applicazioni del teorema di Gauss. Il fatto che vi sia uniformità di carica implica che il campo sia perpendicolare al piano ed abbia la stessa intensità per tutti i punti ad eguale distanza dallo stesso; inoltre, essendo carico alla stessa maniera su entrambi i lati (stessa densità e quindi stesso segno di carica), la direzione del campo risulta essere opposta ai due lati del piano. Come si fa a calcolarne l’intensità?

Per calcolare l’intensità si usa una superficie gaussiana, in particolare un cilindro con le generatrici perpendicolari al piano (e quindi, con le superfici di base parallele allo stesso). Per quanto osservato prima sulla direzione e sul verso del campo, è molto facile calcolare il valore del flusso. Siccome il campo è parallelo alle generatrici, il prodotto scalare tra il vettore campo ed il versore normale alla superficie risulta nullo sulla superficie laterale del cilindro, sicché il computo totale del flusso si restringe alle sole superfici di base. Pertanto:
\begin{equation}
\Phi_{E} = \int_{S} \overrightarrow{E} \cdot d\overrightarrow{n} = 2EA
\end{equation}
laddove E rappresenta il campo elettrico e A la superficie di base del cilindro. Ricordiamo a questo punto il teorema di Gauss:
\begin{equation}
\Phi_{E} = \int_{S} \overrightarrow{E} \cdot d\overrightarrow{n} = \frac{Q_{int}}{\epsilon_{0}}
\end{equation}
Data l’uniformità di carica del piano, la carica interna alla superficie gaussiana si calcola facilmente moltiplicando la densità di carica per la superficie (di base del cilindro), per cui:
\begin{equation}
Q_{int} = \sigma A
\end{equation}
Applicando dunque il teorema di Gauss si ottiene:
\begin{equation}
2EA = \frac{\sigma A}{\epsilon_{0}}
\end{equation}
da cui si ottiene facilmente la densità del campo elettrico
\begin{equation}
E=\frac{\sigma}{2 \epsilon_{0}}
\end{equation}
con direzione perpendicolare al piano e verso uscente in caso di densità positiva o entrante in caso di densità negativa.

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