Binomio di Newton


dadi

La formula del binomio di Newton serve a calcolare in maniera semplice la potenza ennesima di un qualsiasi binomio. In particolare si ha quanto segue:

Dati due numeri a e b, e dato un qualsiasi intero positivo n, si ha:
\begin{array}{c}
(a+b)^{n} = {n \choose 0} a^{n} + {n \choose 1} a^{n-1}b + {n \choose 2} a^{n-2}b^2 +…+ {n \choose n}b^{n} \\
= \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} a^{n-k}b^{k}
\end{array}
Detto a parole, lo sviluppo della potenza ennesima di un binomio è un polinomio composto da n + 1 monomi di grado n, ordinati secondo potenze decrescenti di a (e quindi crescenti di b) ed in cui il coefficiente numerico di ogni monomio è dato esattamente dalla formula del coefficiente binomiale n su k, dove k è la potenza che compare su b.

Facciamo un esempio.
\begin{array}{c}
(x+y)^{4} = \sum_{k=0}^{4} {4 \choose k} x^{4-k}y^{k} = \\
={4 \choose 0} x^{4} + {4 \choose 1}x^{3}y + {4 \choose 2}x^{2}y^{2} + {4 \choose 3} xy^{3} +{4 \choose 4}y^{4} = \\
=x^{4} + 4x^{3}y +6 x^{2}y^{2} + 4xy^{3} +y^{4}
\end{array}
Ovviamente, laddove dovesse comparire un segno meno (ad esempio (x-y)) va sostituito -y ad ogni occorrenza della variabile y.

Notiamo infine che i coefficienti dei vari monomi non sono altro che quelli che compaiono nel triangolo di Tartaglia.

Continua: Il coefficiente binomiale





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