I modelli di calcolo delle opzioni


Le opzioni finanziarie

Un’opzione consente al detentore di acquistare (o vendere) un certo bene in (o entro) una data futura prefissata  e a un determinato prezzo. Alcune parole della frase precedente vanno analizzate. A.”acquistare“: nel caso si tratti di un diritto ad acquistare, l’opzione viene definita “opzione call”; B. “vendere“: nel caso si tratti di un diritto a vendere, l’opzione viene definita “opzione put”; C. “un certo bene“: il bene che è oggetto della vendita viene detto”bene sottostante”; D. “in“: se si fa un acquisto o una vendita in un preciso istante si parla di opzione put o call di tipo europea; E. “entro“: se l’acquisto o la vendita possono essere effettuati entro un determinato istante si parla invece di opzione put o call americana; F. “una data“: la data futura prefissata è rappresentata dalla scadenza dell’opzione; G. “un determinato prezzo“: si tratta del prezzo di esercizio, detto anche “strike price”. L’opzione finanziaria è un vero e proprio contratto derivato, dato che per calcolare il suo prezzo è necessario aver quello del suo bene sottostante. Tra l’altro, anche l’obbligazione può essere considerata un contratto, perché al fine di calcolare il suo prezzo bisogna conoscere la struttura per scadenza, ovvero i tassi di interesse.

 

I modelli di pricing delle opzioni

Ci sono vari metodi per prezzare e calcolare il valore delle opzioni disponibili sul mercato: la disciplina che ci aiuta in questo senso è la matematica finanziaria, attraverso l’esposizione di varie ipotesi di mercato e verifiche di particolari teoremi. Vediamo insieme i metodi di calcolo più diffusi nell’ambito della matematica finanziaria.

 

Il modello di Black e Scholes.

In realtà questo modello dovrebbe essere più correttamente definito come “modello di Black-Scholes-Merton“, ma per semplicità vengono definiti soltanto i primi due economisti. Si tratta sostanzialmente di una formula matematica per il prezzo di non arbitraggio di un’opzione call o put di tipo europeo: l’equazione era stata derivata da Fischer Black e Myron Scholes in un lavoro del 1973, sulla base di precedenti ricerche da parte di Robert Merton e Paul Samuelson. Tra l’altro, questi lavori valsero a Merton e Scholes il nobel per l’economia nel 1997. Il modello è definito in un tempo continuo, con ogni istante di vita del contratto ben definito. Tutta la formula, poi, si basa su delle specifiche ipotesi di mercato: 1. il mercato è aperto in maniera continua e siamo dunque in grado in ogni momento di entrarci; 2. il mercato è per definizione “non frizionale”, vale a dire che non vi sono tasse, costi di transazione, non esistono rischi di insolvenza, sono consentite le vendite allo scoperto e, infine, i beni sono divisibili; 3. il mercato viene anche definito come “competitivo” e, quindi, gli agenti del mercato stesso sono dei veri e propri massimizzatori di profitto, oltre che dei price-takers; 4. il mercato è privo di arbritaggi; 5. la struttura per scadenza è piatta. Partendo proprio da queste ipotesi e presupposti si è andati a costruire un portafoglio replicante certo in un tempo continuo. Attraverso il modello di Black e Scholes si può valutare l’opzione call con un portafoglio composto da un certo numero di opzioni di uno zero coupon bond con scadenza nel passivo. Tra l’altro, in questo modello sono valide solamente le opzioni europee con azioni che non provvedono al pagamento dei dividendi della valutazione, alla scadenza (si tratta di una sorta di “discretizzazione” del modello che è in questo senso meno preciso di altri).

 

Opzione implicita; zero coupon bond emesso da un’azienda

Si è spiegato dunque che con il modello di Black e Scholes non esistono rischi di insolvenza, anche se questi ultimi possono sussistere nel caso vi sia un acquisto di obbligazioni da parte di emittenti come lo Stato. Vediamo gli altri modelli di definizione delle opzioni. 1.Modello a tempo discreto: il modello binomiale di Cox, Ross e Rubinstein. Tale modello viene utilizzato largamente, dato che esso consta di un’ampia varietà di condizioni e per la sua relativa semplicità dal punto di vista matematico. Come già si evince dal suo nome, il modello binomiale utilizza una struttura di tempo discreto al fine di tracciare l’evoluzione della variabile chiave dell’opzione stessa, per un dato numero di volte comprese tra il momento della valutazione e il momento in cui scadrà l’opzione. L’evoluzione del prezzo, in questo senso, va a formare la base per la valutazione e l’applicazione del prezzo all’opzione. In pratica, tale sistema di valutazione dell’opzione si basa su un processo a tre fasi: a. la generazione del cosiddetto “price tree”; b. il calcolo del valore dell’opzione alla fine di ogni periodo; c. il calcolo progressivo del valore dell’opzione. Questo modello ha anche delle relazioni e punti in comune con il modello di Black e Scholes, soprattutto per quel che riguarda la distribuzione del periodo attraverso l’approccio della distribuzione normale.

 

SIMONE RICCI

Continua: Le opzioni call e put





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